Método deductivo

Triángulo es la proporción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos (Baldor, 2008: 80).

Clasificación según sus lados

Clasificación según sus ángulos

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Postulado_LAL.svg

Semejanza de Triángulos

Dos triángulos que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen lados proporcionales y los ángulos iguales.

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html

Método deductivo

Es el método usado en la ciencia, principalmente en la Geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos, de tal manera que se obtienen nuevos conocimientos: resultan nuevas proposiciones como consecuencia lógica de las anteriores. No todas las proposiciones son consecuencias de otras, hay algunas que se aceptan como ciertas por sí mismas, como los axiomas y postulados. Dentro de éste método encontramos: al Teoremaque es una proposición que puede ser demostrada, que consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. ElCorolario: proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. El Lema: proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. La Nota: observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado. ElProblema: proposición en la que se pide construir una figura que reúna ciertas condiciones (problemas gráficos), o calcular el valor de alguna magnitud geométrica (problemas numéricos).

Matemáticas y Geometría

Los primeros conocimientos geométricos que tuvo el hombre consistían en un conjunto de reglas prácticas, para que la geometría fuera considerada como ciencia tuvieron que pasar muchos siglos, hasta llegar a los griegos. En Grecia es donde se ordenan los conocimientos empíricos adquiridos y reemplazan la observación y la experiencia por deducciones racionales.

    La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos (Baldor, 2008: 3). La geometría de los egipcios era eminentemente empírica, no se basaba en un sistema lógico deducido a partir de axiomas y postulados (proposiciones sencillas y evidentes que se admiten sin demostración).

    En Grecia comienza la Geometría como ciencia deductiva aunque es probable que griegos como Tales, Herodoto y Pitágoras, iniciaran en Egipto sus conocimientos geométricos, pero su gran mérito está en que a ellos se les reconoce la transformación de la Geometría como ciencia deductiva.

• 1. Congruencias y semejanzas de figuras planas Srta. Yanira Castro Lizana
• 2. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas
• 3. . Ejemplos de Congruencia ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
• 4. Congruencia . Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensi ó n.
• 5. Criterios de congruencia
• 6. Triángulos congruentes Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. A B C D E F ABC  DEF
• 7. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si: Sus lados correspondientes son iguales Sus ángulos correspondiente son iguales. En la figura
• 8. POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL : Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LAL : Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio ALA : Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LLA : Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.
• 9. Postulado LLL Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A B C D E F ABC  DEF
• 10. Postulado ALA Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A B C D E ABC  CDE
• 11. Postulado AAL Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A B C D E ABC  EFD F
• 12. Postulado LAL Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. A B C D E ABC  DEF F
• 13. Ejemplos: 1)  En la figura, se tiene un triángulo ABC  isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?
• 14. 2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones. Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?
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• 17. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
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• 19. TEOREMA DE THALES
• 20. TEOREMA DE THALES
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• 22. A B C BASE MEDIA PROPIEDAD M N
• 23. FIGURAS SEMEJANTES
• 24. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes
• 25. Semejanza Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
• 26. Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. es la razón de semejanza
• 27. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.
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• 29. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
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• 32. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. Multiplica cada uno de los lados por 3. Los lados del triángulo se han triplicado. x 3 4m 5m 6m A B C 18m 15m 12m P Q R
• 33. Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB BC AC Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a. Además: Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR. PQ QR PR
• 34.  ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triángulos?
• 35. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
• 36. Distancias o alturas aplicando semejanza Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.
• 37. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• 38. Criterios de semejanza de triángulos existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
• 39. Existen tres criterios de semejanza de triángulos AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)
• 40. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS POSTULADOS DE SEMEJANZA Criterio AA de semejanza.   Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos  ángulos  correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”.   Criterio LAL de semejanza.   Teorema: “ Dos  triángulos  son  semejantes   si   tienen   un   ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”.   Criterio LLL de semejanza.   Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
• 41. Primer criterio AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. Es decir: Si  ´ ,  ´  de lo anterior se deduce que   ´ Entonces,  ABC semejante con  A´B´C ´ A ´ B ´ C ’ A B C  ´   ´   ´ 
• 42. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA 25 65 25 65
• 43. II. Segundo criterio LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza . Es decir: a a´ = b b´ = c c´ =K Entonces,  ABC semejante con  A´B´C´ A ´ B ´ C ’ A B C a a´ b b´ c c´
• 44. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 1,5 3 3,5 7 5 10
• 45. III. Tercer criterio LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual , son semejantes entre sí. Es decir: = Entonces  ABC semejante a  A´B´C´ A ´ B ´ C ’ A B C a a´ a a´ c c´ c c´ y  =  ´   ´
• 46. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales = 4 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos A B C 4 3 D E F 9 12 3 9 12
• 47. Algunas aplicaciones de estos conceptos
• 48. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL Representemos el ejercicio Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 = = = 6,5 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 8 10 12 78 65 52 52 8 65 10 78 12
• 49. Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: Entonces: X= 3 · 3 = 9 = 9 Y = 4 · 3 =12 12 = Z = 5 · 3 = 15 =15 La razón de semejanza es 3 Representamos la situación = = = 3 1 =3 Escala de ampliación X 3 = 3 Y 4 =3 Z 5 =3 3 4 5 x y z X 3 Y 4 Z 5
• 50. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. 30 12 = 40 16 50 20 = Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 50 30 40 12 16 20
• 51. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto De donde = 6,75m Formamos la proporción 4,5m x 3m 2m sombra poste Son semejantes por que cumplen el criterio AA , tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo = 3 x 2 4,5 X = 3 • 4,5 2
• 52. Para terminar una pequeña demostración
• 53. Demostración Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA , luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes Demuestre: Si L 1 // L 2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC C A B D E Afirmaciones Razones